No.1-2 フーリエ係数

関数$f(t)$のフーリエ係数

関数$f(t)$が以下のように表されたら、

\begin{align} f(t) & =a_0+\sum_{i = 1}^{n} (a_i \cos{n\omega_0 t} + b_i \sin{n\omega_0 t})\\ \end{align}

フーリエ係数は次のように算出される（$n\in\mathbb{N}$）

\begin{align} a_0& =\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t)dt\\ \end{align}

\begin{align} a_n& =\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t)\cos{n\omega_0 t}dt \end{align}

\begin{align} a_n& =\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t)\sin{n\omega_0 t}dt \end{align}

説明

関数空間(一つの関数を一点として見る空間)で考えます。 基底を \begin{align} 1, \cos{n\omega_0 t} , \sin{n\omega_0 t}
(\omega_0=\frac{2\pi}{T} n=1,2,3,...) \end{align} でとると、これらの一次結合で関数$f(t)$を表したのがフーリエ級数である。

方針

明日、これらの基底が直交していることと積分が具体的に表されることを用いて$a_0$を積分計算して出せることをしめそうと思います

⌘やっと課題が終わって春休み！ピアノたくさん弾ける～わ～い

参考文献

道具としてのフーリエ級数　　涌井良幸・涌井貞美

ありがとうございました！