基底は

\begin{align} 1, \cos{n\omega_0 t} , \sin{n\omega_0 t}
(\omega_0=\frac{2\pi}{T} n=1,2,3,...) \end{align}

であった。

これらは以下の性質を持つ。

積分値

\begin{align} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} 1^ 2 dt &=T \end{align}

\begin{align} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \cos^ 2 n\omega_0t dt &= \frac{T}{2} \end{align}

\begin{align} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \sin^ 2 n\omega_0t dt &= \frac{T}{2} \end{align}

直交性

\begin{align} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \cos n\omega_0t dt &= 0 \end{align}

\begin{align} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \sin n\omega_0t dt &= 0 \end{align}

\begin{align} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \cos m\omega_0t\sin n\omega_0t dt &= 0 \end{align}

$m\neq n$で

\begin{align} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \sin m\omega_0t\sin n\omega_0t dt &= 0 \end{align}

\begin{align} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \cos m\omega_0t\cos n\omega_0t dt &= 0 \end{align}

つまり$ 1, \cos{n\omega_0 t} , \sin{n\omega_0 t} $も $ \sin n\omega_0t , \sin n\omega_0t $ も $ \cos n\omega_0t , \cos n\omega_0t $もそれぞれ関数空間で直交する。

⌘今日はこのへんでおわり。しばらくした後、いい出会いがありますように。

道具としてのフーリエ級数　　涌井良幸・涌井貞美　著