No.1-4 フーリエ係数を求めた
基底の性質
ずっと考えてきている関数空間の基底は
\begin{align}
1, \cos{n\omega_0 t} , \sin{n\omega_0 t}
(\omega_0=\frac{2\pi}{T} , \quad n=1,2,3,...)
\end{align}
であった。 基底の直交性(かけ合わせて積分したら$0$になる)より、 フーリエ級数展開の
\begin{align} f(t) & =a_0+\sum_{i = 1}^{n} (a_i \cos{n\omega_0 t} + b_i \sin{n\omega_0 t})\\ \end{align}
の両辺に$\cos{n\omega_0t}$をかけて積分すると
よって \begin{aligned} a_n = \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t)\cos{n\omega_0t} dt \quad \quad (n \in \mathbb{N}) \end{aligned}
⌘tex囲みすると左に寄っちゃうんだよね,だから七誌さんのブログを参考にdiv囲みしました！きれいに真ん中に集まってよきよき。引用ちゃんとできるようになりたい。
参考文献
道具としてのフーリエ級数 涌井良幸・涌井貞美 著
No.1-3 フーリエ係数を求める準備
基底の性質
基底は
\begin{align}
1, \cos{n\omega_0 t} , \sin{n\omega_0 t}
(\omega_0=\frac{2\pi}{T} n=1,2,3,...)
\end{align}
であった。
これらは以下の性質を持つ。
積分値
\begin{align} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} 1^ 2 dt &=T \end{align}
\begin{align} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \cos^ 2 n\omega_0t dt &= \frac{T}{2} \end{align}
\begin{align} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \sin^ 2 n\omega_0t dt &= \frac{T}{2} \end{align}
直交性
\begin{align} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \cos n\omega_0t dt &= 0 \end{align}
\begin{align} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \sin n\omega_0t dt &= 0 \end{align}
\begin{align} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \cos m\omega_0t\sin n\omega_0t dt &= 0 \end{align}
$m\neq n$で
\begin{align} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \sin m\omega_0t\sin n\omega_0t dt &= 0 \end{align}
\begin{align} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \cos m\omega_0t\cos n\omega_0t dt &= 0 \end{align}
つまり$ 1, \cos{n\omega_0 t} , \sin{n\omega_0 t} $も $ \sin n\omega_0t , \sin n\omega_0t $ も $ \cos n\omega_0t , \cos n\omega_0t $もそれぞれ関数空間で直交する。
⌘今日はこのへんでおわり。しばらくした後、いい出会いがありますように。
参考文献
道具としてのフーリエ級数 涌井良幸・涌井貞美 著
No.1-2 フーリエ係数
関数$f(t)$のフーリエ係数
関数$f(t)$が以下のように表されたら、
\begin{align} f(t) & =a_0+\sum_{i = 1}^{n} (a_i \cos{n\omega_0 t} + b_i \sin{n\omega_0 t})\\ \end{align}
フーリエ係数は次のように算出される（$n\in\mathbb{N}$）
\begin{align} a_0& =\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t)dt\\ \end{align}
\begin{align} a_n& =\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t)\cos{n\omega_0 t}dt \end{align}
\begin{align} a_n& =\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t)\sin{n\omega_0 t}dt \end{align}
説明
関数空間(一つの関数を一点として見る空間)で考えます。
基底を
\begin{align}
1, \cos{n\omega_0 t} , \sin{n\omega_0 t}
(\omega_0=\frac{2\pi}{T} n=1,2,3,...)
\end{align}
でとると、これらの一次結合で関数$f(t)$を表したのがフーリエ級数である。
方針
明日、これらの基底が直交していることと積分が具体的に表されることを用いて$a_0$を積分計算して出せることをしめそうと思います
⌘やっと課題が終わって春休み！ピアノたくさん弾ける～わ～い
参考文献
道具としてのフーリエ級数 涌井良幸・涌井貞美
ありがとうございました！
No.0 練習その２ Markdown方式のやり方
おはようございます。
PCは朝に触ろうかと思います！夜だと寝れなくなってしまって悪循環なので😂😂
mrkdown方式の練習します
- 改行
半角スペース二個と改行or<br>
今日の数式 \begin{align} a_1& =b_1+c_1\\ a_2& =b_2+c_2-d_2+e_2 \end{align}
参考
No.0 練習その１ ブログで数式を書く練習します！
数式を書く練習から。
- 等式→ $$ではさむ
$$ e^{i\pi} = -1 $$
$$ e^{j\pi} + 1 = 0 $$
$$ \alpha = 0 $$
- 方程式→ {align}ではさむ
\begin{align} a_1& =b_1+c_1\\\ a_2& =b_2+c_2-d_2+e_2 \end{align}
⌘htmlでやってみたけれどめちゃ大変なので明日mathjaxでやります
-
参考
